円のベクトルの方程式の公式とその証明方法について

円のベクトル方程式の公式とその証明方法についてまとめたいと思います。
まずは、円のベクトル方程式の公式について書きます。

中心$C(\vec{c})$,半径rの円で円周上の任意の点を$P(\vec{p})$とすると、円のベクトル方程式は

$$|\vec{p} - \vec{c}| = r$$

と表すことができます。

下図のように、点$C(\vec{c})$を中心する半径rの円をCとします。

円周上の任意の点を$P(\vec{p})$とすると

$\vec{CP} = \vec{p} - \vec{c}$

円の半径がrなので

$|\vec{CP}| = r$

したがって

$|\vec{p} - \vec{c}| = r$ 　

となり、円のベクトル方程式の証明をすることができます。

円のベクトル方程式から、円の方程式を導くことができます。

まず、$\vec{p} = (x,y),\vec{c} = (a,b)$とすると

$\vec{p} - \vec{c} = (x - a,y - b)$

円のベクトル方程式の両辺を二乗して

$|\vec{p} - \vec{c}|^2 = r^2$

式を展開して

$(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) = r^2$

この式を成分に置き換えると

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

となり、円のベクトル方程式から円の方程式を導くことができました。

初版:2019/9/3

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