定積分によって、なぜ面積が求められるのか

定積分により、囲まれた面積を求めることができますが、
なぜ面積が求まるのかということについて、まとめたいと思います。

まずは、定積分により面積を求める公式をあげます。

区間$a \leqq b$で$f(x) \geqq 0$のとき、
曲線$y = f(x)$と$x$軸および2直線$x = a,x = b$で囲まれる部分の面積$S$は

$$S = \int_a^b f(x) dx$$

下図のような、区間$a \leqq b$で$f(x) \geqq 0$のとき、
曲線$y = f(x)$と$x$軸と2直線$x = a$,$x = b$で囲まれた面積Sについて考えます。

区間内の任意の$x$に対して、$a$から$x$までの部分に対応する面積は$x$の関数であるので、これを$S(x)$とします。
すると、$S(a) = 0,S(b) = S$と置けます。

下図のように$x$が$h$だけ微笑に変化すると、面積は$S(x + h) - S(x)$だけ変化し、
面積について、次のような不等式が成り立ちます。

長方形$PQRU \leqq S(x + h) -S(x) \leqq$ 長方形$PQST$

面積として考えて

$PQ × PU \leqq S(x + h) -S(x) \leqq PQ × QS$

各々の長さをグラフを参照して置き換えると

$h \cdot f(x) \leqq S(x + h) -S(x) \leqq h \cdot f(x + h)$

$h > 0$のとき、各辺を$h$で割ると

$f(x) \leqq \displaystyle \frac{S(x + h) -S(x)}{h} \leqq f(x + h)$

この不等式において、$h$を限りなく0に近づけると、微分の定義により。

$\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{S(x + h) - S(x)}{h} = S'(x)$であり、

$f(x + h)$は$f(x)$に限りなく近くから、

$f(x) \leqq S'(x) \leqq f(x)$

よって、$S'(x) = f(x)$ - ①
ということが言え、$h < 0$の場合も同様にして示すことができます。

①より、
面積の関数$S(x)$は、$f(x)$の原始関数(不定積分)の一つであるということが言えます。

よって、
$S = S(b) - S(a)$

$= \left[S(x) \right]_a^b$

展開して、

$S = \int_a^b f(x) dx$

となり、定積分から曲線と2直線と$x$軸で囲まれた面積を求められることが証明できました。

初版:2019/8/19

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