放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求める公式とその証明方法について

放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求める公式についてまとめます。

下図のように放物線Cの2本の接線を$l,m$とし、それぞれの接点の$x$座標を$α,β(α < β)$とする。

このとき、$l$と$m$の交点$P$として、その$x$座標は\(\displaystyle \frac{α + β}{2}\)

また、図の面積\(S_1,S_2\)について

$$S_1:S_2 = 2 : 1$$

$$\left (S_1 = \frac{|a|}{6}(β - α)^3,S_2 = \frac{|a|}{12}(β - α)^3 \right)$$

\(C:y = ax^2 + bx + c(a \ne 0)\)とすると、

\(y' = 2ax + b\)から、$l$の方程式は

\(y - (aα^2 + bα + c) = (2aα + b)(x - α)\)
\(y = (2aα + b)x - aα^2 + c\) - ①

同様にして、$m$の方程式は
\(y = (2aβ + b)x - aβ^2 + c\) - ②

交点$P$の$x$座標は①②の式の解だから、連立させて

\((2aα + b)x - aα^2 + c = (2aβ + b)x - aβ^2 + c\)

これを計算して、$x$を求めます。

$(2aα + b)x -(2aβ + b)x = -aβ^2 + aα^2$

$(2aα -2aβ)x = a(α^2 - β^2)$

\(a \ne 0,α \ne β\)から

\(\displaystyle x = \frac{a(α^2 - β^2)}{2a(α - β)} = \frac{α + β}{2}\)

また、S1は\(\displaystyle \frac{1}{6}\)の公式より

\(\displaystyle S1 = \frac{|a|}{6}(β - α)^3\)

また、S2に関しては下図のS5 + S6より、\(\displaystyle \frac{1}{3}\)の公式を使って面積を求めると。

\(\displaystyle S2 = \frac{|a|}{3}(\frac{α + β}{2} - α)^3 + \frac{|a|}{3}(β - \frac{α + β}{2})^3\)

\(S2 = \displaystyle \frac{|a|}{12}(β - α)^3\)

よって、

\(\displaystyle S1 : S2 = \frac{|a|}{6}(β - α)^3\ : \frac{|a|}{12}(β - α)^3 = 2 : 1\)

初版:2021/7/28 改訂:2023/9/25(途中式を追加)

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