放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求める公式とその証明方法について

放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求める公式についてまとめます。

下図のように放物線Cの2本の接線をl,mとし、それぞれの接点のx座標をα,β(α < β)とする。

放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求める公式の証明図1

このとき、lとmの交点Pとして、そのx座標は\(\displaystyle \frac{α + β}{2}\)

また、図の面積\(S_1,S_2\)について

$$S_1:S_2 = 2 : 1$$

$$\left (S_1 = \frac{|a|}{6}(β - α)^3,S_2 = \frac{|a|}{12}(β - α)^3 \right)$$

放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求める公式の証明方法

\(C:y = ax^2 + bx + c(a \ne 0)\)とすると、

\(y' = 2ax + b\)から、lの方程式は

\(y - (aα^2 + bα + c) = (2aα + b)(x - α)\)
\(y = (2aα + b)x - aα^2 + c\) - ①

同様にして、mの方程式は
\(y = (2aβ + b)x - aβ^2 + c\) - ②

交点Pのx座標は①②の式の解だから、連立させて

\((2aα + b)x - aα^2 + c = (2aβ + b)x - aβ^2 + c\)

\(a \ne 0,α \ne β\)から

\(\displaystyle x = \frac{a(β^2 - α^2)}{2a(β - α)} = \frac{α + β}{2}\)

また、S1は\(\displaystyle \frac{1}{6}\)の公式より

\(\displaystyle S1 = \frac{|a|}{6}(β - α)^3\)

また、S2に関しては下図のS5 + S6より、\(\displaystyle \frac{1}{3}\)の公式を使って面積を求めると。

放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求める公式の証明図2

\(\displaystyle S2 = \frac{|a|}{3}(\frac{α + β}{2} - α)^3 + \frac{|a|}{3}(β - \frac{α + β}{2})^3\)

\(S2 = \displaystyle \frac{|a|}{12}(β - α)^3\)

よって、

\(\displaystyle S1 : S2 = \frac{|a|}{6}(β - α)^3\ : \frac{|a|}{12}(β - α)^3 = 2 : 1\)

初版:2021/7/28

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