関数と関数の積の微分の公式1とその証明

関数と関数の積の微分の公式は以下のようになります。

$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$F(x) = f(x)g(x)$とおいて、導関数の定義より

$\displaystyle F'(x) = \lim_{h \to 0 }\frac{F(x + h) - F(x)}{h}$

$\displaystyle F'(x) = \lim_{h \to 0 }\frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)}{h}$

微分の定義が使えるように、分子に$f(x + h)g(x + h) -f(x)g(x + h)$を加えます。

$\displaystyle F'(x) = \lim_{h \to 0 }\frac{f(x + h)g(x + h) -f(x)g(x + h) + f(x)g(x + h) - f(x)g(x)}{h}$

$\displaystyle F'(x) = \lim_{h \to 0 } \left(\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \cdot g(x + h) + f(x) \cdot \dfrac{g(x + h) - g(x)}{h}\right)$

$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

初版:2021/7/20
更新:2023/3/31(f(x)のところをF(x)と間違えて表記していたところを修正)