三角関数の半角の公式とその証明方法について
三角関数の半角の公式とその証明方法について、書きたいと思います。
まずは、半角の公式の一覧をまとめます。
半角の公式一覧
$$sin^2\dfrac{α}{2} = \dfrac{1 - cosα}{2}$$
$$cos^2\dfrac{α}{2} = \dfrac{1 + cosα}{2}$$
$$tan^2\dfrac{α}{2} = \dfrac{1 - cosα}{1 + cosα}$$
$sin^2\dfrac{α}{2} = \dfrac{1 - cosα}{2}$の証明
sinの半角の公式を得るには、2倍角の公式$cos2α = 1 - 2sin^2α$を変形して
$sin^2α = \dfrac{1 - cos2α}{2}$
ここで、αを$\dfrac{α}{2}$に置き換えると
$sin^2\dfrac{α}{2} = \dfrac{1 - cosα}{2}$が得られます。
$cos^2\dfrac{α}{2} = \dfrac{1 + cosα}{2}$の証明
cosの半角の公式もsinのそれと同じ要領で、
$cos2α = 2cos^2α - 1$を変形することにより得られます
$cos^2α = \dfrac{1 + cos2α}{2}$
同じように、$α$を$\dfrac{α}{2}$に置き換えると
$cos^2\dfrac{α}{2} = \dfrac{1 + cosα}{2}$が得られます。
$tan^2\dfrac{α}{2} = \dfrac{1 - cosα}{1 + cosα}$の証明
先ほど導いた2つの式
$sin^2α = \dfrac{1 - cos2α}{2}$
$cos^2α = \dfrac{1 + cos2α}{2}$
を$tanα = \dfrac{sinα}{cosα}$に当てはめます。
$\dfrac{sin^2α}{cos^2α} = \dfrac{1 - cos2α}{2} ÷ \dfrac{1 + cos2α}{2}$
よって
$tan^2\dfrac{α}{2} = \dfrac{1 - cosα}{1 + cosα}$
となり、tanの半角の公式を求めることができました。
半角の公式の求め方のまとめ
半角の公式を導く場合は、2倍角の公式を変形し、一般角を$α$とすると
$α$を$\dfrac{α}{2}$と置き換えることにより、求めることができます。
初版:2019/8/4
