ベクトルの内積について

ゲームにおいても当たり判定など何かと使われることの多い、ベクトルの内積についての概念や
ベクトルの内積の公式、成分表示の公式の証明などについて書きたいと思います。

まずは、ベクトルのなす角の定義について説明します。

下図のように始点が一致する2つのベクトル$\vec{a},\vec{b}$があります。
このとき、$\angle AOB$のθのうち、$0^{ \circ } \leqq θ \leqq 180^{ \circ }$であるものを、
ベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角といいます。

上図のように$\vec{0}$でない二つのベクトル$\vec{a},\vec{b}$のなす角をθとするとき、

$|\vec{a}||\vec{b}|cosθ$を$\vec{a}$と$\vec{b}$の内積といいます。

内積は$\vec{a} \cdot \vec{b}$で表します。
よって、$\vec{a},\vec{b}$となす角θの内積は、

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cosθ$$

続いて、成分による内積表示についてまとめます。
成分とは、$\vec{a} = (1,2)$などのことです。

$\vec{a} = (a_1,a_2),\vec{b} = (b_1,b_2)$のとき $\vec{a}$と$\vec{b}$の内積を成分で表すと

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$$

続いて、成分による内積表示の公式の証明について書きます。

$\vec{a} = \vec{OA}$,$\vec{b} = \vec{OB}$,$θ = \angle AOB$とすると、 $\vec{a}$と$\vec{b}$の内積は、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cosθ = |\vec{OA}||\vec{OB}|cosθ$

$0^{ \circ } \leqq θ \leqq 180^{ \circ }$のとき、三角形OABを作ることができるので、
三角形OABにおいて、余弦定理を用いて

$AB^2 = OA^2 + OB^2 -2OA × OBcosθ$ - ①

ベクトルに換算して

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 -2|\vec{OA}||\vec{OB}|cosθ$

変換して

$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 -2|\vec{a}||\vec{b}|cosθ$

成分に換算して

$\displaystyle (b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 = (a_1^2 + a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

左辺を展開して整理します

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$

となり、余弦定理を用いることで、証明することができました。

初版:2019/8/29

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