定積分と微分法の公式と証明について

定積分と微分を組み合わせると、原始関数に戻るという公式があるので、
その公式の証明についてまとめます。

$$\displaystyle \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$$

$\displaystyle \frac{d}{dx}$は微分すべき変数が$x$であることを示しています。

$f(t)$の原子関数の1つを$F(t)$とすると

$F'(t) = f(t)$

よって

$\displaystyle \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = \frac{d}{dx} \left[F(t) \right]_a^x$

$\displaystyle = \frac{d}{dx}\{F(x) - F(a)\}$

定数$F(a)$は微分すると0になるので

$= F'(x) = f(x)$

となる証明することができました。

初版:2019/8/16

Tweet