指数にある対数関数の変換公式

ある数の指数に対数関数がある場合の変換の公式について確認します。

$a,b(b \ne 1),c$を正の数とすると、以下の公式が成り立ちます。

$$\displaystyle a^{log_{b}c} = c^{log_{b}a}$$

$log_{b}a = M$とおくと、対数の定義より

$b^M = a$

この式に$M$を代入すると

$a = b^{log_{b}a} - ①$

同様にして

$c = b^{log_{b}c} - ②$

ここで、①の両辺を$log_{b}c$乗すると

$a^{log_{b}c} = (b^{log_{b}a})^{log_{b}c} = b^{(log_{b}a)(log_{b}c)} - ③$

今度は、②の両辺を$log_{b}a$乗すると

$c^{log_{b}a} = (b^{log_{b}c})^{log_{b}a} = b^{(log_{b}a)(log_{b}c)} - ④$

$③,④$より

$a^{log_{b}c} = c^{log_{b}a}$

初版:2023/5/3