2次方程式の解と定積分の公式とその証明方法について

2次方程式の解と定積分の公式を使うことで、簡単に放物線と直線、放物線と放物線で囲まれた面積
を求めることができます。

では、その公式について書きます。

2次方程式$ax^2 + bx + c = 0$の異なる2つの実数解を$α,β(α < β)$とすると

$$\displaystyle \int_α^β (ax^2 + bx + c)dx = - \frac{a}{6}(β - α)^3$$

題意より、$\displaystyle ax^2 + bx + c = a(x - α)(x - β)$が成り立つので

$\displaystyle \int_α^β (ax^2 + bx + c)dx$ = $\displaystyle \int_α^β a(x - α)(x - β)dx$ = $\displaystyle a\int_α^β (x - α)(x - β)dx$

ここで、$\displaystyle \int_α^β (x - α)(x - β)dx$について計算します。

$\displaystyle \int_α^β (x - α)(x - β)dx$ = $\displaystyle \int_α^β \{x^2 - (α + β)x + αβ\}dx$

$\displaystyle = \left[\frac{x^3}{3} - (α + β) \cdot \frac{x^2}{2} + αβx \right]_α^β$

$\displaystyle = \frac{β^3 - α^3}{3} - (α + β) \cdot \frac{β^2 - α^2}{2} + αβ(β - α)$

ここで、$β^3 - α^3 = (β - α)(β^2 + βα + α^2)$

$β^2 - α^2 = (β + α)(β - α)$

より、共通因数$(β - α)$が現れるので、分母も考慮に入れて
$\displaystyle \frac{β - α}{6}$でくくります。

$\displaystyle = \frac{β - α}{6}\{2(β^2 + αβ + α^2) -3(β + α)^2 + 6αβ \}$

$\displaystyle = \frac{β - α}{6}(-β^2 + 2βα - α^2)$

$\displaystyle = -\frac{1}{6}(β - α)^3$

よって、

$\displaystyle \int_α^β (ax^2 + bx + c)dx = - \frac{a}{6}(β - α)^3$

初版:2019/8/20

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