等比数列の一般項と和の公式の証明

等比数列に関してまとめたいと思います。
まずは、等比数列の定義から

数列${an}$において、各項が1つ前の項に定数$r$をかけたものに等しい時、この数列を等比数列という。
また、この一定の比$r$を公比といいます。

等比数列の一般項$\{an\}$は初項$a$に公比$r$を$(n-1)$回かけたものだから

$an = ar^{n-1}$

$r = 1$の時は、$ar^0$となり
$a × 1$となるため初項が求まります。

等比数列の和の公式は

$r \ne 1$のとき

$\displaystyle Sn = {a(1 - r^n) \over 1 - r}$

$r = 1$の時、

$Sn = na$

となります。

まずは、$r \ne 1$のケース証明から
$Sn$と$Sn$に公比$r$をかけた$rSn$の差分を計算すると、和の公式を簡単に求めることができます。

$Sn = a + ar + ar + ar^2 + ar^3 + ・・・ + ar^(n - 1)$
$rSn = ar + ar + ar^2 + ar^3 + ・・・ + ar^(n - 1) + ar^n$

$Sn - rSn$を計算することにより、公式が姿を表します。

$(1 - r)Sn = a - ar^n$

右辺を$a$でまとめて

$(1 - r)Sn = a(1 - r^n)$

よって、

$\displaystyle Sn = {a(1 - r^n) \over 1 - r}$

続いて$r = 1$のケースの証明です。
単純に$a$に$r$をかけていくと、

$Sn = a + a × 1 + a × 1 ・・・ a × n$

となるので、$Sn = na$
ということが簡単にわかります。

以上、等比数列の一般項と和の公式を求めました。

初版:2018/8/6
修正:2021/8/11(r != 1がn != 1になっているところを修正)

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