$pa_n + q$型の漸化式の解法をまとめる

漸化式のタイプの一つである、
$a_{n + 1} = pa_n + q$(p,qは定数,p != 0,p != 1)型の漸化式の解法についてまとめます。

$a_{n + 1} = pa_n + q$ - ①
とします。

①において、q = 0ならば$a_{n + 1} = pa_n$となり、
数列${a_n}$は公比pの等比数列(参考)です。

なので、①を変形して、数列${a_n - c}$(cは定数が)が公比pの等比数列になるようにできないか考えます。

①が$a_{n + 1} - c = p(a_n - c)$ - ②

に変形できたとすると、②を展開して

$a_{n + 1} = pa_n + c - pc$ - ③

①と③の形を比較すると

$q = c - pc$
すなわち
$c = pc + q$

つまり、漸化式で$a_{n + 1},a_n$をcとおいた、cについての一次方程式$c = pc + q$
の解を求めると、②の形に変更することができます。

cが求まったら、$a_n - c = b_n$などとおいて、等比数列{$b_n$}の一般項を求めればokです。

例として、
$a_{n + 1} = 2a_n + 1$
という漸化式を考えます。

解法にそって例題を解いてみたいと思います。

まず、cを求めます。cは、
$c = pc + q$
なので、

$c = 2c + 1 = -1$

$a_{n + 1} - c = p(a_n - c)$の形に変形すると

$a_{n + 1} + 1 = 2(a_n + 1)$ - ①

ここで、$a_n + 1 = b_n$とおきます。

nの代わりにn + 1とおくと
$a_{n + 1} + 1 = b_{n + 1}$

これらを①に代入して、
$b_{n + 1} = 2b_n$

よって、数列{$b_n$}は公比2の等比数列で、その初項は

$b_1 = a_1 + 1 = 2$

よって、{$b_n$}の一般項は

$b_n = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^n$

よって、{$a_n$}の一般項は、$a_n = b_n - 1$より

$a_n = 2^n - 1$

初版:2019/10/2
更新:2021/8/16(例題の数値が載っていなかったので、修正)

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