分数型の漸化式の解法
漸化式のタイプの一つである、
分数型の漸化式の解法をまとめます。
分数型の漸化式は以下の形で定義されます。
$$ \displaystyle an_{+1} = \frac{pa_n}{qa_n + r}$$
この場合、$\displaystyle \frac{1}{an} = {b_n}$
と逆数を取ることで、例の形を取れるようにします。
例題で公式を確認する
$a_1 = \dfrac{1}{3} - ①$
$an_{+1} = \dfrac{an}{2 - 5a_n} - ②$の例に考えます。
まず、$an$を逆数にした時に、分母が0になるといけないので、分母チェックをします。
②で、$an_{+ 1} = 0$とすると、$an = 0$となるので、
$a_1 = \dfrac{1}{3} \ne 0$に反するので、$an \ne 0$
②で両辺の逆数をとって、
$\displaystyle \frac{1}{an_{+1}} = \frac{2 - 5a_n}{a_n}$
$\displaystyle \frac{1}{an_{+1}} = 2 \times \frac{1}{a_n} - 5$
ここで、$\displaystyle \frac{1}{an} = {b_n}$と置いて、例の形に持っていけるようにします。
$bn_{+1} = 2bn - 5 - ③$
③を例のように解くと、$b_n = 5 - 2^n$
$\dfrac{1}{a_n} = 5 - 2^n$
再び逆数にして、
$a_n = \dfrac{1}{5 - 2^n}$
初版:2023/1/1
