指数型の漸化式の解法
漸化式のタイプの一つである、
指数型の漸化式の解法をまとめます。
指数型の漸化式は、両辺に常用対数を取ることで、対数の性質から等比数列の形にもっていくことができます。
例題を通して、解法の流れを確認したいと思います。
例題で指数型漸化式の解法を確認する
$\displaystyle a_1 = 3,{an_{+1}}^5 = an^2$
この漸化式を例に解法を確認したいと思います。
まず、両辺に常用対数を取ります。
$log_{10} {an_{+1}}^5 = log_{10} an^2$
対数の性質より、
$5log_{10} {an_{+1}} = 2log_{10} an$
ここで、$log_{10}an = bn - ①$と置くことで、$bn$の等比数列の形にもっていくことができます。
$5bn_{+1} = 2bn$
$bn_{+1} = \dfrac{2}{5}bn$
途中はめんどいので省略しますが、$bn$は
$bn = \left( \dfrac{2}{5} \right) ^{n - 1} log_{10}3$
$\displaystyle bn = log_{10}3^{\left( \dfrac{2}{5} \right) ^{n - 1} }$
よって、①より
$\displaystyle log_{10} an = log_{10}3^{\left( \dfrac{2}{5} \right) ^{n - 1} }$
両辺を比較して
$an = 3^{\left( \dfrac{2}{5} \right) ^{n - 1} }$
こういう流れで解くことができます。
初版:2023/1/6
