三角関数の3倍角の公式とその証明について

三角関数における3倍角の公式とその証明方法をまとめたいと思います。

$$sin3α = -4sin^3α + 3sinα$$

$$cos3α = 4cos^3α - 3cosα$$

sinの3倍角の公式を求めるには、
2倍角の公式の証明と同じように加法定理を利用します。
また、2倍角の公式も使用します。

$sin3α = sin(2α + α) = sin2αcosα + cos2αsinα$

$cos2α = 1 - 2sin^2α$を利用します。

$=2sinαcos^2α + (1 - 2sin^2α)sinα$
$=2sinα(1 - sin^2α) + sinα -2sin^3α$

よって、
$sin3α = -4sin^3α + 3sinα$

cosの3倍角の公式もsinの時と同様に、加法定理と、2倍角の公式を利用すると、
簡単に求めることができます。

$cos3α = cos(2α + α) = cos2αcosα - sin2αsinα$

$= (2cos^2α - 1)cosα - 2sinαcosαsinα$

$= 2cos^3α - cosα - 2cosα(1 - cos^2α)$

$= 2cos^3α - cosα - 2cosα + 2cos^3α$

よって、
$cos3α = 4cos^3α - 3cosα$

このように3倍角の公式は、加法定理と2倍角の公式を組み合わせることにより、
簡単に求めることができます。

初版:2019/8/3