ベクトルの成分表示による平行条件とその証明

ベクトルの平行条件は以下のようになります。

\(\overrightarrow{0}\)でない2つのベクトル\( \overrightarrow{a} = (a_1,a_2),\overrightarrow{b} = (b_1,b_2)\)について、

\(\overrightarrow{a} // \overrightarrow{b} \iff \overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}\)となる実数kがある - ①

\(\iff a_1b_2 - a_2b_1 = 0\) - ②

成分で表された内積の平行条件の証明

\(\overrightarrow{a} // \overrightarrow{b} \iff \overrightarrow{b} = k \overrightarrow{a}\)

\(\iff (b_1,b_2) = k(a_1,a_2) \iff b_1 = ka_1,b_2 = ka_2\)

[1] \(b_1 = ka_1,b_2 = ka_2\)のとき②に代入して、

\(a_1b_2 - a_2b_1 = a_1 \cdot ka_2 - a_2 \cdot ka_1 = 0\)

[2] \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\) - ③のとき

\(a_1 = 0\)のとき\(a_2 \neq 0\)(\(\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}\)の仮定より)で、③から
\(b_1 = 0\)

\(\displaystyle \frac{b_2}{a_2} = k\)とおくと

\(b_1 = ka_1,b_2 = ka_2\)

\(a_1 \neq 0\)のとき③から

\(b_2 = \frac{b_1}{a_1}a_2\)

\(\frac{b_1}{a_1} = k\)とおくと\(b_1 = ka_1,b_2 = ka_2\)

以上により

\(\overrightarrow{a} // \overrightarrow{b} \iff a_1b_2 - a_2b_1 = 0\)

初版:2021/7/13

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