共役な複素数の絶対値の性質

複素数の絶対値には、以下の性質があります。
ここで、

$α = a + bi$
$β = c + di$とします。

2点α,β間の距離は$|β - α|$ - ①

これは、複素数平面を考え、2点間の距離を考えると納得できます。

$|α + β| \leqq |α| + |β|$ - ②

③の両辺を2乗して、右辺 - 左辺の形にします。

$(|α| + |β|)^2 - |α + β|^2 = (\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2})^2 - \{(a + c)^2 + (b + d)^2\}$

$\displaystyle = 2\sqrt{a^2 + b^2} \sqrt{c^2 + d^2} - (2ac + 2bd)$

$\displaystyle = 2\{\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)} - (ac + bd)\}$

ここで、$\vec{p} = (a,b),\vec{q} = (c,d)$と考えます。

$\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}|cosθ \leqq |\vec{p}||\vec{q}|(0 \leqq θ \leqq π)$ - ③

③より、$|\vec{p}||\vec{q}| - \vec{p} \cdot \vec{q} \geqq 0$より(成分が示された場合の内積の公式を使う)

$\displaystyle \sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)} - (ac + bd) \geqq 0$

よって

$(|α| + |β|)^2 - |α + β|^2 \geqq 0$

つまり

$|α + β|^2 \leqq (|α| + |β|)^2$

$|α + β| \geqq 0,|α| + |β| \geqq 0$だから、

$|α + β| \leqq |α| + |β|$

初版:2022/1/18
改訂:2022/3/17

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