共役な複素数の性質2

共役な複素数の性質をまとめます。

複素数をα,β、共役な複素数を$\bar{α},\bar{β}$とします。
$α = a + bi$
$β = c + di$
とします。

$α + \bar{α}$は実数 - ①

$\overline{α + β} = \bar{α} + \bar{β}$ - ②

$\overline{α - β} = \bar{α} - \bar{β}$ - ③

$\overline{αβ} = \bar{α}\bar{β}$ - ④

$\displaystyle \overline{(\frac{α}{β})} = \frac{\bar{α}}{\bar{β}},(β \ne 0)$ - ⑤

$\displaystyle \bar{\bar{α}} = α$ - ⑥

$α + \bar{α} = a + bi + a - bi$
$α + \bar{α} = 2a$
より実数となります。

$α + β = a + c + (b + d)i$
$\overline{α + β} = a + c -(b + d)i$

$\bar{α} + \bar{β} = a - bi + c - di$
$\bar{α} + \bar{β} = a + c -(b + d)i$

よって、

$\overline{α + β} = \bar{α} + \bar{β}$

$α - β = a - c + (b - d)i$
$\overline{α - β} = a - c + (d - b)i$

$\bar{α} - \bar{β} = a - bi -(c - di)$
$\bar{α} - \bar{β} = a - c + (d - b)i$

よって、

$\overline{α - β} = \bar{α} - \bar{β}$

$αβ = (a + bi)(c + di)$
$αβ = ac - bd + (ad + bc)i$
$\overline{αβ} = ac - bd - (ad + bc)i$

右辺

$\bar{α}\bar{β} = (a - bi)(c - di)$
$\bar{α}\bar{β} = ac - bd -(ad + bc)i$

よって、左辺 = 右辺になります。

$\displaystyle \frac{α}{β} = \frac{a + bi}{c + di}$

$\displaystyle \frac{α}{β} = \frac{(a + bi)(c -di)}{(c + di)(c - di)}$

$\displaystyle \frac{α}{β} = \frac{(ac + bd) + (bc -ad)i}{c^2 + d^2}$

よって、

$\displaystyle \overline{(\frac{α}{β})} = \frac{(ac + bd) + (ad -bc)i}{c^2 + d^2}$

また、

$\displaystyle \frac{\bar{α}}{\bar{β}} = \frac{a - bi}{c - di} = \frac{(a - bi)(c + di)}{(c - di)(c + di)}$

$\displaystyle \frac{\bar{α}}{\bar{β}} = \frac{(ac + bd) + (ad -bc)i}{c^2 + d^2}$

よって、 $\displaystyle \overline{(\frac{α}{β})} = \frac{\bar{α}}{\bar{β}}$

$\displaystyle \bar{α} = a - bi$

当たり前ですが、これに共役な複素数を当てはめると元に戻ります。

$\displaystyle \bar{\bar{α}} = a + bi$

よって、

$\displaystyle \bar{\bar{α}} = α$

初版:2022/1/17