$\displaystyle z + \frac{1}{z}$の性質について

複素数zを、
$z = r(cosθ + isinθ)$(r > 0)と置きます。

このとき、
$\displaystyle z + \frac{1}{z}$に以下のような性質が現れます。

$\displaystyle z + \frac{1}{z}$が実数ならば、$\displaystyle z^n + \frac{1}{z^n}$は実数

$\displaystyle z + \frac{1}{z}$が純虚数のとき

nが偶数の時$\displaystyle z^n + \frac{1}{z^n}$は実数

nが奇数の時$\displaystyle z^n + \frac{1}{z^n}$は純虚数

証明するために以下を計算しておきます。

$\displaystyle \frac{1}{z} = \frac{1}{r}(cosθ - isinθ)$より、

$\displaystyle z + \frac{1}{z} = (r + \frac{1}{r})cosθ + i(r - \frac{1}{r})sinθ$ - ①

ドモアブルより$\displaystyle z^n = r^n(cosnθ + isinnθ)^n$

$\displaystyle \frac{1}{z^n} = \frac{1}{r^n}(cosnθ - isinnθ)$より、

$\displaystyle z^n + \frac{1}{z^n} = (r^n + \frac{1}{r^n})cosnθ + i(r^n - \frac{1}{r^n})sinnθ$ - ②

$\displaystyle z + \frac{1}{z}$が実数のとき、

①より、$\displaystyle (r - \frac{1}{r})sinθ = 0だから$

$\displaystyle r - \frac{1}{r} = 0$または、$sinθ = 0$

$\displaystyle r - \frac{1}{r} = 0$を解くと、
$r = 1$

このとき、$\displaystyle r^n - \frac{1}{r^n} = 0$

$\displaystyle sinθ = 0$を解くと、

$θ = mπ$(mは整数)
このとき、

$sinnθ = sin(n \cdot mπ) = sinmnπ = 0$(m,nは整数だから、sinの三角関数を考えると0になる)

以上より、虚数部分が0になるので、
②から、$\displaystyle z^n + \frac{1}{z^n}$は実数

$\displaystyle z + \frac{1}{z}$が純虚数の時
①より、

$\displaystyle (r + \frac{1}{r})cosθ = 0$かつ$\displaystyle (r - \frac{1}{r})sinθ \ne 0$

なので、$r \ne 1$かつ$\displaystyle θ = \frac{2m + 1}{2}π$(mは整数)

$\displaystyle sinnθ = sin \frac{2m + 1}{2}nπ = 0$

よって②から、

$\displaystyle z^n + \frac{1}{z^n}$は実数

$\displaystyle cosnθ = cos\frac{2m + 1}{2}nπ = 0$

$\displaystyle sinnθ = sin\frac{2m + 1}{2}nπ \ne 0$

また、$r \ne 1$だから、②より

$\displaystyle z^n + \frac{1}{z^n}$は純虚数

初版:2022/1/25
改訂:2022/3/19(番号を振ってなかったので修正)

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