極形式と定義とその性質

複素数平面上で、0でない複素数$z = a + bi$を表す点をPとし、
$OP = r$とします。

下図のように実軸の正の部分から半直線OPまでの回転角をθとすると、

$a = rcosθ,b = rsinθ$だから、

$z = r(cosθ + isinθ)$(だたし、r > 0)

これを、複素数zの極形式という。

また、角θをzの偏角といい、argzで表します。

図より、$r = |z|$,
定義より、$θ = argz$

また、絶対値が1の時はr = 1より、$z = cosθ + isinθ$

$z = r(cosθ + isinθ)$の共役な複素数$\bar{z}$は

$\bar{z} = r(cosθ - isinθ)$

これを下図を考えて、変形すると

$\bar{z} = r(cos(-θ) + isin(-θ))$

よって、$arg \bar{z} = -argz$が成り立ちます。

初版:2022/1/18

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