平均値の定理とその証明

平均値の定理は、ロルの定理から区間の端の値、
$f(a) = f(b)$等しくない場合を考えたものになります
つまり、定義は以下のようになります。

平均値の定理

関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能ならば、

$\displaystyle f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0,a < c < b$

を満たす実数cが存在する

つまりは、両端の点を結んだ傾きが、ab間の点cに存在するというものです。

平均値の証明

ロルの定理が用いることができるように、F(a) = F(b)となるような関数F(x)をf(x)を利用して作ります。

$\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = k$とし、
$F(x) = f(x) - f(a) -k(x - a)$とすると

$F'(x) = f'(x) - k$

関数fにa,bを代入すると

$F(a) = F(b)$

よって、ロルの条件を満たすので、
$F'(c) = 0$つまり$f'(c) - k = 0$

変形すると

$\displaystyle f'(c) = k = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

を満たす実数cが少なくとも一つ存在する

初版:2022/3/2

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