商の微分の公式とその証明

商の微分の公式とその証明方法についてまとめます。

$\displaystyle \left \lbrace \frac{f(x)}{g(x)} \right \rbrace ' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$ - ①

$\displaystyle \frac{1}{g(x)}' = - \frac{g(x)'}{\{g(x)\}^2}$ - ②(上の公式で$f(x)$を1と考えれば、求められます)

②を証明してから、②を使用して①を証明します。

$\displaystyle \frac{1}{g(x)}' = \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \left \lbrace \frac{1}{g(x + h)} - \frac{1}{g(x)} \right \rbrace$

$\displaystyle \frac{1}{g(x)}' = \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{g(x) - g(x + h)}{g(x + h)g(x)}$

$\displaystyle \frac{1}{g(x)}' = \lim\limits_{h \to 0} \left \lbrace - \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \cdot \frac{1}{g(x + h)g(x)} \right \rbrace$

ここで、

$\displaystyle \lim\limits_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} = g'(x)$と

$\displaystyle \lim\limits_{h \to 0} g(x + h) = g(x)$より

$\displaystyle \frac{1}{g(x)}' = -g'(x) \cdot \frac{1}{g(x)g(x)} = - \frac{g'(x)}{\{ g(x) \}^2}$

よって、

$\displaystyle \left \lbrace \frac{f(x)}{g(x)} \right \rbrace ' = \left \lbrace f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right \rbrace ' = f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \left \lbrace \frac{1}{g(x)} \right \rbrace '$

$\displaystyle \left \lbrace \frac{f(x)}{g(x)} \right \rbrace ' = \frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x)g'(x)}{\{g(x) \}^2} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$

初版:2022/2/22

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