指数関数の微分の公式とその証明

指数関数の微分の公式とその証明についてまとめます。

$\displaystyle (a^x)' = a^xloga$ - ①

$\displaystyle (e^x)' = e^x$ - ②

$y = a^x - *(a > 0,a \ne 0)$の両辺の自然対数をとって

$logy = xloga$

両辺をxで微分します(陰関数の微分を使います)。

$\displaystyle \frac{y'}{y} = loga$

$\displaystyle y' = yloga$

これに、*を代入すると

$\displaystyle (a^x)' = a^xloga$

①のaにeを当てはめると

$\displaystyle (e^x)' = e^xloge$

$\displaystyle (e^x)' = e^x$

初版:2022/2/28

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