ネイピア数の定義と自然対数の定義

ネイピア数の定義について

ネイピア数eは次のように定義されます。

$\displaystyle e = \lim\limits_{h \to 0}(1 + h)^{\frac{1}{h}}$

$a > 0,a \ne 1$として、
$y = log_ax(x > 0)$の導関数を求めます。

$\displaystyle (log_ax)' = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{log_a(x + \Delta x) - log_ax}{\Delta x}$

$\displaystyle = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x}log_a \Biggl( 1 + \frac{\Delta x}{x} \Biggl)$

ここで、$\displaystyle \frac{\Delta x}{x} = h$とおくと、

$\displaystyle \Delta x \to 0 \leftrightarrow h \to 0$

これより、
$\displaystyle \Delta x = xh,\frac{\Delta x}{x} = h$を代入して

$\displaystyle (log_ax)' = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{xh}log_a(1 + h) = \frac{1}{x} \lim\limits_{h \to 0} log_a(1 + h)^{\frac{1}{h}}$ - ①

$h \to 0$のとき、$(1 + h)^{\frac{1}{h}}$の値をeとします。

①にeの定義を当てはめると

$\displaystyle (log_ax)' = \frac{1}{x}log_ae$ - ②

②にて、a = eとすると

$\displaystyle (log_ex)' = \frac{1}{x}log_ee = \frac{1}{x}$

このようにeを底とする対数$log_ex$を自然対数といいます。

またeを自然対数の底といいます。

初版:2022/2/27

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