逆関数の導関数の微分の公式とその証明

関数$y = f(x)$が微分可能で単調増加・減少関数の時、
その逆関数$y = f^{-1}(x)$が存在します。

逆関数の微分の公式は以下のようになります。

$\dfrac{dx}{dy} \ne 0$の時

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$

$y = f^{-1}(x)$とすると、x = f(y)なので、この両辺をxで微分します。

左辺は

$\displaystyle \frac{d}{dx}x = 1$

右辺は

$\displaystyle \frac{d}{dx}f(y) = \frac{d}{dy}f(y) \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}$

まとめると

$\displaystyle 1 = \frac{dx}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} \ne 0$のとき$\dfrac{dx}{dy}$で割って

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$

初版:2022/2/25