楕円の方程式と標準形について
楕円とは
下図のように平面上で、異なる2定点F,F'からの距離の和が一定である点Pの軌跡を楕円という。
また、定点F,F'を楕円の焦点といい、
$PF + PF' > FF'$とする
楕円の方程式と標準形
下図のように2点F(c,0),F'(-c,0)[c > 0]を焦点とし、
2点からの距離の和が2aである楕円の方程式は、
まず条件より、$PF + PF' > FF'$より$2a > 2c$だから、
$a > c > 0$
楕円上の点をP(x,y)とすると、$PF + PF' = 2a$より
$\displaystyle \sqrt{(x - c)^2 + y^2} + \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a$
$\displaystyle \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x + c)^2 + y^2}$
両辺を二乗して整理すると
$\displaystyle a \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = a^2 + cx$
再び両辺を二乗して整理すると
$\displaystyle (a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)$ - ①
a > cだから、
$\sqrt{a^2 - c^2} = b$とおくと、
a > b > 0で①より
$\displaystyle b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$
両辺を$a^2b^2(\ne 0)$で割ると
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
この式を楕円の方程式の標準形といいます。
初版:2022/1/29