楕円の方程式と標準形について

楕円とは

下図のように平面上で、異なる2定点F,F'からの距離の和が一定である点Pの軌跡を楕円という。

2つの定点F,F'から距離の和が一定である点から楕円が作られていく図

また、定点F,F'を楕円の焦点といい、
$PF + PF' > FF'$とする

楕円の方程式と標準形

下図のように2点F(c,0),F'(-c,0)[c > 0]を焦点とし、
2点からの距離の和が2aである楕円の方程式は、

楕円の標準形を示した図

まず条件より、$PF + PF' > FF'$より$2a > 2c$だから、
$a > c > 0$

楕円上の点をP(x,y)とすると、$PF + PF' = 2a$より

$\displaystyle \sqrt{(x - c)^2 + y^2} + \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a$

$\displaystyle \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x + c)^2 + y^2}$

両辺を二乗して整理します。

$\displaystyle x^2 -2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 -4a\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + x^2 +2cx + c^2 + y^2$

$\displaystyle 4a\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 4a^2 + 4cx$

$\displaystyle a \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = a^2 + cx$

再び両辺を二乗して整理すると

$\displaystyle a^2(x^2 + 2cx + c^2 + y^2) = a^4 + 2a^2cx + c^2x^2$

$\displaystyle (a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)$ - ①

a > cだから、
$\sqrt{a^2 - c^2} = b$とおくと、
a > b > 0で①より

$\displaystyle b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$

両辺を$a^2b^2(\ne 0)$で割ると

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

この式を楕円の方程式の標準形といいます。

初版:2022/1/29
更新:2022/8/13(途中式を追加)

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