楕円の性質と用語について

楕円の性質と用語についてまとめます。

楕円の方程式についてまとめたページにて、方程式

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

を導く際に、$\displaystyle \sqrt{a^2 - c^2} = b$とおいたので、
$c = \sqrt{a^2 - b^2}$になります。

よって、まとめたページで文字を置いたように、下図の楕円の焦点の座標は、

$\displaystyle F(\sqrt{a^2 - b^2,0},F'(- \sqrt{a^2 - b^2},0)$となります。

上図のように、楕円が$x$軸と交わる点は、$A(a,0),A'(-a,0)$,
$y$軸と交わる点は、$B(0,b),B'(0,-b)$

この4点を楕円の頂点といいます。

上図より、$a > b$であるから、$AA' > BB'$
長い方の線分$AA'$を長軸,短い方の線分$BB'$を短軸といい、
長軸と短軸の交点を楕円の中心といます。

ここで、いままでのことを考慮して、標準形楕円の性質をまとめます。
前提として、$a > b > 0$とします。

1.中心は原点、長軸の長さは$2a$、短軸の長さは$2b$

2.焦点は、2点あり,($\sqrt{a^2 - b^2},0),(- \sqrt{a^2 - b^2},0)$

3.楕円は$x$軸,$y$軸,原点に対して対象

4.楕円上の点から2つの焦点までの距離の和は$2a$

初版:2022/1/31

Tweet