放物線の方程式の性質と標準形

放物線の方程式の定義

平面上で、定点Fと、Fを通らない定直線からの距離が等しいPの軌跡を放物線という。

点Fをその焦点、直線lを準線という。

放物線の標準形

下図のように点F(p,0)$(p \ne 0)$を焦点とし、直線l:x = -pを準線とする
放物線上の点をP(x,y)とし、Pからlに下ろした垂線をPHとする。

式と曲線において、標準形で表される放物線の図

PF = PHだから

$\displaystyle \sqrt{(x - p)^2 + y^2} = |x -(-p)|$

両辺を二乗して

$\displaystyle (x - p)^2 + y^2 = (x + p)^2$

整理すると

$\displaystyle y^2 = 4px$ - ①

この式を放物線の標準形といいます。

放物線$(y^2 = 4px(p \ne 0))$の性質

放物線の焦点を通り、準線に垂直な直線を、放物線の軸といい、軸と放物線の交点を、放物線の頂点といいます。

標準形で示される、放物線の特徴は

1.頂点は原点、焦点は点(p,0),準線は直線$x = -p$

2.軸はx軸(y = 0)で、放物線は軸に関して対象になる。

y軸を軸とする放物線

点F(0,p)$(p \ne 0)$を焦点とし、直線y = -pを準線とする放物線の方程式は、上記と同様に処理して、

$x^2 = 4py$

この放物線は直線y = xに関して①と対象で、軸はy軸(x = 0),頂点は原点になる。

方部線$y = ax^2$は$\displaystyle x^2 = 4 \cdot \frac{1}{4a}y$と変形されるから、

その焦点は点$\displaystyle (0,\frac{1}{4a})$,準線は直線$\displaystyle y = - \frac{1}{4a}$となる。

初版:2022/1/28

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