2次曲線の極方程式について

極座標が$(a,0)$である点Aを通り、始線OXに垂直な直線をlとします。

点Pからlに下ろした垂線をPHとするとき、

離心率$e = \dfrac{OP}{PH}$ - ①

これが一定であるような点Pの軌跡は、極Oを1つの焦点とする2次曲線になり、
その極方程式は

$r = \dfrac{ea}{1 + ecosθ}$ - ②

2次曲線の極方程式の証明

2次曲線上の点Pの極座標を(r,θ)とすると、
OP = rと①から

$PH = \dfrac{r}{e}$,また
$PH = a - rcosθ$

よって、$\dfrac{r}{e} = a - rcosθ$

$r = ea - recosθ$
$r(1 + ecosθ) = ea$
$r = \dfrac{ea}{1 + ecosθ}$

より②が成り立ちます。

②は、0 < e < 1の時楕円、e = 1放物線、e > 1の時双曲線を示します。

初版:2022/2/8

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