基本的な不定積分公式のまとめ

基本的な積分公式をまとめます。
証明はすべて微分の逆を行うことで求められます。

$$\displaystyle \int \frac{dx}{x} = log|x| + C$$

$$\displaystyle \int sinxdx = -cosx + C$$

$$\displaystyle \int cosxdx = sinx + C$$

$$\displaystyle \int \frac{dx}{cos^2x} = tanx + C$$

$$\displaystyle \int \frac{dx}{sin^2x} = - \frac{1}{tanx} + C - ⑤$$

$$\displaystyle \int tanx dx = - log|cosx| + C - ⑥$$

$$\displaystyle \int e^xdx = e^x + C$$

$$\displaystyle \int a^xdx = \frac{a^x}{loga} + C(a > 0,a \ne 1) - ⑧$$

$- \dfrac{1}{tanx}$を変形します。

$- \left( \dfrac{1}{\dfrac{sinθ}{cosθ}} \right)$

$ = - \left( \dfrac{cosθ}{sinθ} \right)$

両辺を商の微分公式で微分して

$ = - \left( \dfrac{-sinθ \cdot sinθ - cosθ \cdot cosθ}{sin^2θ} \right)$

$ = - \left( \dfrac{-sin^2θ - cos^2θ}{sin^2θ} \right)$

$ = - \left( \dfrac{-1}{sin^2θ} \right)$

$ = \dfrac{1}{sin^2θ}$

-はかっこの外に出して考えましょう。

$tanx$の積分の公式の証明です。

⑤の両辺を$x$で微分します。
右辺は合成関数の微分を使います。

$\displaystyle tanx = - \dfrac{1}{cosx} \cdot (cosx)'$

$\displaystyle tanx = - \dfrac{1}{cosx} \cdot -sinx $

$\displaystyle tanx = tanx$

となり、証明できました。

置換積分を使って、積分してみます。

$\displaystyle \int tanx dx = \int \dfrac{sinx}{cosx} dx - ①$

例の如く$\displaystyle cosx = t$と置換して、$x$で微分します。

$\displaystyle -sinx = \dfrac{dt}{dx}$

$\displaystyle - \dfrac{1}{sinx} dt = dx$

$dx$を①に代入して

$\displaystyle \int \dfrac{sinx}{t} \cdot - \dfrac{1}{sinx} dt $

$= \displaystyle \int - \dfrac{1}{t} dt$

$= \displaystyle -log|t| + C$

$= \displaystyle -log|cosx| + C$

⑦の右辺を$x$で微分します。

$\displaystyle \{\frac{a^x}{loga}\}' = \dfrac{a^x \cdot loga \cdot loga - a^x \cdot 0}{(loga)^2} = a^x$

この式の両辺を$x$で積分すると、⑦になります。

初版:2022/3/4

更新:
2023/5/2(⑦の証明を追加)
2023/5/9($\displaystyle \int \frac{dx}{cos^2x} = \frac{1}{tanx} + C$の間違いを修正(すいません))
2024/5/19(⑤の証明を追加)

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