定積分で表された積分の微分の公式とその証明
定積分で表された積分の微分の公式と証明についてまとめます。
数学2と違い、定積分の範囲が関数になっている場合の公式があります。
$$\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt = f(g(x))g'(x) - f(h(x))h'(x)$$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt = f(g(x))g'(x) - f(h(x))h'(x)$の証明
$f(t)$の不定積分の1つをF(t)として、
$F'(t) = f(t)$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)dt = \frac{d}{dx}\{F(g(x)) - F(h(x))\}$
合成関数の微分を使います。
$\displaystyle = F'(g(x))g'(x) - F'(h(x))h'(x)$
$\displaystyle = f(g(x))g'(x) - f(h(x))h'(x)$
初版:2022/3/8
