曲線の長さを求める公式
曲線の長さを求める公式についてまとめます。
まず、媒介変数表示による曲線の長さの公式は以下になります。
媒介変数表示による曲線の長さの公式
曲線$x = f(t),y = g(t)(a \leqq t \leqq b)$の長さをLとすると
$$\displaystyle L = \int_{a}^{b} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^2} dt $$
$$\displaystyle = \int_{a}^{b} \sqrt{ \{ f'(t) \}^2 + \{ g'(t) \}^2 } dt$$
曲線$y = f(x)$の長さの公式
先の媒介変数表示において、$y = f(x)$を$x = t,y = f(t)$と考えます。
$$\displaystyle L = \int_{a}^{b} \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right) ^2} dx $$
$$\displaystyle = \int_{a}^{b} \sqrt{ 1 + \{ f'(x) \}^2} dx $$
曲線$y = f(x)$の長さの公式の補足
個人的にわかりにくかったので$x$軸方向の$1$の部分に関して、ちょっと補足をします。
媒介変数表示による曲線の長さの公式は
$\displaystyle L = \int_{a}^{b} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^2} dt $
でしたが、関数によって様々に変化していた$x$座標が単純に$\left( \dfrac{dt}{dt} \right) ^2$
とけおけるので、$\left( \dfrac{dx}{dt} \right) ^2$と媒介変数表示で示していた部分が微分をして$1$になるということです。
初版:2022/3/12
更新:2023/6/7(補足を追加)
