平面上の運動と道のりの公式とその考え方について

平面上を運動する点の座標を求める公式とその考え方についてまとめます。

座標平面上において、点$P(x,y)$が曲線C上を動き、点x,yが時刻tの関数として、
$x = f(t),y = g(t)(a \leqq t \leqq b)$で与えられるとします。

点Pがt = a(点A)からt = b(点B)まで、曲線C上をAからBに向かって動く時、
この間に点Pを通過する道のりをlとすると、lはAからBまでの曲線Cの長さに等しいので、

$\displaystyle l = \int_{a}^{b} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt}\right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt}\right) ^2}dt$

このとき、$\displaystyle \sqrt{\left( \frac{dx}{dt}\right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt}\right) ^2}$は、
点Pの時刻tにおける速度$\vec{v}$の大きさ$|\vec{v}|$を表すので、道のりlは

$\displaystyle l = \int_{a}^{b} |\vec{v}|dt = \int_{a}^{b} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt}\right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt}\right) ^2}dt$

$\displaystyle = \int_{a}^{b} \sqrt{\{ f'(t) \}^2 + \{ g'(t) \}^2 }dt$

と表されます。

初版:2022/3/12

Tweet