置換積分の基本公式とその証明

置換積分の基本公式とその証明についてまとめます。

置換積分の公式

$x = g(t)$とすると

$$\displaystyle \int f(x)dx = \int f(g(t))g'(t)dt - ①$$

$u = g(x)$とすると

$$\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du - ②$$

$\displaystyle \int f(x)dx = \int f(g(t))g'(t)dt - ①$の証明

$\displaystyle y = \int f(x)dx$において、$x = g(t)$とおくと

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = f(x)g'(t) = f(g(t))g'(t)$

よって、

$\displaystyle y = \int f(g(t))g'(t)dt$

$\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du - ②$の証明

①において、積分変数$t$を$x$に、$x$を$u$に変えただけで、
被積分関数が$f(g(x))g'(x)$の形をしている時、$g(x)$を$u$で置き換え、
$g'(x)dx$を$du$で置き換えて計算できることを意味しています。

初版:2022/3/5

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