置換積分の基本公式とその証明

置換積分の基本公式とその証明についてまとめます。

$x = g(t)$とすると

$$\displaystyle \int f(x)dx = \int f(g(t))g'(t)dt - ①$$

$u = g(x)$とすると

$$\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du - ②$$

この公式の用途としては、２つの積の形をした式があり片方の式を微分したら、
もう片方の式になる(係数は別にして文字部分が一致する)とき、1つの式を省略することができるよというものです。

例として$\displaystyle \int 2x \sqrt{x^2 + 3}dx$を考えます。

$x^2 + 3 = g(x)$とすると、$2x$は$g'(x)$になります。

つまりこの形は公式の$\int f(g(t))g'(t)dt$が成立しています。

$t = x^2 + 3$とおいて、両辺を$x$で微分します。

$\dfrac{dt}{dx} = 2x$
$dx = \dfrac{1}{2x}dt$

これを元の式に当てはめると

$\displaystyle \int \sqrt{t} \cdot 2x \cdot \dfrac{1}{2x}dt$

$\displaystyle \int \sqrt{t} dt$

のように$g'(x)'$の部分を消去することができます。
後の計算は

$\displaystyle \int t^{\frac{1}{2}} dt$

$\displaystyle \dfrac{3}{2}t^{\frac{3}{2}} + C$

と簡単に計算することができます。

$\displaystyle y = \int f(x)dx$において、$x = g(t)$とおくと

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = f(x)g'(t) = f(g(t))g'(t)$

両辺を$t$で積分すると

$\displaystyle y = \int f(g(t))g'(t)dt$

$y$を置き換えると、

$\displaystyle \int f(x)dx = \int f(g(t))g'(t)dt$

①において、積分変数$t$を$x$に、$x$を$u$に変えただけで、
被積分関数が$f(g(x))g'(x)$の形をしている時、$g(x)$を$u$で置き換え、
$g'(x)dx$を$du$で置き換えて計算できることを意味しています。

初版:2022/3/5
更新:2023/9/15(公式1の使用例を追加)

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