無限等比数列とその極限について

数列:$a,ar,ar^2,・・・,ar^{n - 1},・・・$を、初項a,公比rの無限等比数列といいます。

極限は公比$r$により、以下のように分けられます。

$r > 1$のとき$\lim\limits_{n \to \infty} r^n = \infty$ - ①

$r = 1$のとき$\lim\limits_{n \to \infty} r^n = 1$ - ②

$-1 < r < 1$のとき$\lim\limits_{n \to \infty} r^n = 0$ - ③

$r \leqq 1$のとき振動する - ④

$r = 1 + h$とおくと、$h > 0$
$n \geqq 2$の時、2項定理を使って、

$\displaystyle (1 + h)^n = 1 + nh + \frac{n(n - 1)}{2}h^2 + \cdot \cdot \cdot > 1 + nh$

$h > 0$より、$nh \rightarrow \infty$

$r^n = (1 + h)^n \rightarrow \infty$

常に$r^n = 1$なので、$r^n \rightarrow 1$

$r = 0$のとき、常に$r^n = 0$だから $r^n \rightarrow 0$

$r \ne 0$のとき、
$\displaystyle |r| = \frac{1}{b}$とおくと、b > 1であるから、
$b^n \rightarrow \infty$

よって、$|r^n| = |r|^n \rightarrow 0$となるから
$r^n \rightarrow 0$

$r = -1$の場合
数列{$r^n$}は-1,1,-1,1,$\cdot \cdot \cdot$となり、振動する

$r < -1$の場合
$|r| > 1$だから、$|r^n| = |r|^n \rightarrow \infty$

奇数項では、$r^n < 0でr^n \rightarrow - \infty$

偶数項では、$r^n > 0でr^n \rightarrow \infty$

より、{$r^n$}は振動します。

初版:2022/2/14