無限等比級数と収束・発散条件について
初項a,公比rの無限等比数列$\{ar^{n - 1}\}$から作られる無限級数
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ar^{n - 1} = a + ar + ar^2 + \cdot \cdot \cdot + ar^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot$ - ①
初項a,公比rの無限等比級数といいます。
また、この収束・発散について以下のことが成り立ちます。
$a \ne 0$のとき
$|r| < 1$ならば収束し、その和は$\dfrac{a}{1 - r}$
$|r| \geqq 1$ならば発散する
$a = 0のとき$
収束して、その和は0になる。
証明
$a \ne 0$のケース
1.r = 1のとき
部分和が$S_n = na(a \ne 0)$だから、数列{$S_n$}は発散するので、①は発散する
2.$r \ne 1$のとき
部分和が$\displaystyle S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a}{1 - r} - \frac{a}{1 - r} \cdot r^n$
|r| < 1のとき、
$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} r^n = 0$だから、
$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1 - r}$
より①は収束して、和は$\dfrac{a}{1 - r}$
$r \leqq -1,1 < r$のとき
数列{$S_n$}が収束しないのは、明らかなので、①は発散します。
a = 0のケース
各項が0になり、$S_n = 0$より
$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} S_n = 0$
より、①は収束して、その和は0になります。
初版:2022/2/16
