sinの基本重要極限公式とその証明

三角関数sinを使った極限の基本公式があり、
この公式をベースにして、他の公式も導くことができるので、
覚える必要があります。

$\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = 1$ - ①

$\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{sinx} = 1$ - ②

①を証明するために、xが+-それぞれから0に近づくパターンを考えます。
まずは+から近づくパターンを考えます。

半径1,中心角$0 < x < \dfrac{π}{2}$の扇型OABと、Aにおける接線とOBの延長との交点をTとすると、
面積について、

$△OAB < 扇型OAB < △OAT$が成り立ちます

よって、

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot sinx < π \cdot 1^2 \cdot \dfrac{x}{2π} < \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot tanx$

$sinx < x < tanx$

条件$0 < x < \dfrac{π}{2}$より、この各辺は正の数だから、その逆数をとると大小関係が逆になるので、

$\displaystyle \frac{1}{sinx} > \frac{1}{x} > \frac{cosx}{sinx}$ 両辺に$sinx$をかけて

$\displaystyle 1 > \frac{sinx}{x} > cosx$

$\displaystyle \lim\limits_{x \to +0} cosx = 1$だから、

$\displaystyle 1 > \frac{sinx}{x} > 1$

はさみうちの定理より

$\displaystyle \lim\limits_{x \to +0} \frac{sinx}{x} = 1$

$x < 0$のとき、$x = -t$とおくと、$t > 0$だから、

$\displaystyle \lim\limits_{x \to -0} \frac{sinx}{x} = \lim\limits_{t \to +0} \frac{sin(-t)}{-t} = \lim\limits_{t \to +0} \frac{sint}{t}$

③より

$\displaystyle \lim\limits_{t \to +0} \frac{sint}{t} = 1$

以上、③④より、

$\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = 1$

②は、①の証明で使用した、$sinx < x < tanx$の条件を使って、
この両辺を$sinx$で割ることで、①と同じようにしてもとめることができます。

初版:2022/2/18
更新:2023/4/29(表記が間違っている箇所があり修正しました)

Tweet