平行版コンデンサーと電気容量

2つの金属板を平行に向い合わせたものを平行版コンデンサーといいいます。

平行版コンデンサーの2枚の金属版を極板と呼びます。
一方に蓄えられた電荷が+Q[C]なら一方は-Q[C]になり、
双方の絶対値は等しくなります。

電荷の蓄えられる目安容量を電気容量と呼び、単位は[F(ファラッド)]を用います。

平行版コンデンサーの電気容量をC[F]、
加わる電圧をV[V]、蓄えられた電気量をQ[C]とすると、

$$Q = CV$$

真空伝導率を$ε$と表し、クーロンの比例定数を$k_0$とすると、
以下のように表されます。

$$\displaystyle ε = \frac{1}{4πk_0}$$

極板の面積を$S[m^2]$,極板間の距離を$d[m]$、
真空伝導率を$ε_0$とすると、電気容量C[F]は

$$\displaystyle C = ε_0 \frac{S}{d}$$

真空中で面積$S[m^2]$の極板を2枚、
間隔$d[m]$で向かい合わせた平行版コンデンサーを考えます。

このコンデンサーに、電圧V[V]を加えたところ、
Q[C]の電荷が蓄えられたとして、電気容量を求めていきます。

まず、コンデンサーの電気容量C[F]は、

コンデンサーに蓄えられた電荷の公式を変形して

$C = \dfrac{Q}{V}[F]$ - ①

極板間の電界の強さE[V/m]は

$V = ED$より

$E = \dfrac{V}{D}$ - ②

ここで、ガウスの法則より、Q[C]の電荷から出る電気力線の総数Nは、

$N = \dfrac{Q}{ε_0}$ - ③

また、Eは面積$S[m^2]$あたりの電気力線の本数がN[本]であるから、

$E = \dfrac{N}{S}$ - ④

③を④に代入して、

$E = \dfrac{Q}{ε_{0}S}[V / m]$

②と③より

$\displaystyle \frac{Q}{ε_{0}S} = \frac{V}{d}$

$\displaystyle \frac{Q}{V} = \frac{ε_{0}S}{d}$

①より

$\displaystyle C = ε_0 \frac{S}{d}[F]$

初版:2022/9/5