凹レンズ

下図を参考に凹レンズの場合の像の書き方を学びましょう。

①光軸に平行な光線は焦点から広がる様に進む。

②レンズの中心を通る光線は直進する

③焦点にへ向かおうとする光線は光軸と平行に進む

凹レンズの場合は、必ずレンズに対して物体と同じ側に像(虚像)ができます。

図のように、$OF = f, OQ = a, OQ' = b$とおくと、

$$\displaystyle \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = - \frac{1}{f}$$

$△PQO$と$△P'Q'O$は相似(直角と共通角より)なので、

$a : PQ = b : P'Q'$

$\displaystyle \frac{P'Q'}{PQ} = \frac{b}{a} - ①$

$△ROF$と$△P'Q'F$は相似(直角と共通角より)なので、

$f : RO = (f - b) : P'Q'$

$\displaystyle \frac{P'Q'}{RO} = \frac{f - b}{f}$

$RO = PQ(光線PRは平行なので)$

$\displaystyle \frac{P'Q'}{PQ} = \frac{f - b}{f} - ②$

①②より

$\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{f - b}{f}$

$fb = af - ab$

$fb - af = -ab$

両辺を$abf$でわって

$\displaystyle \frac{1}{a} - \frac{1}{b}= - \frac{1}{f}$

物体が焦点の内側にある場合のレンズの公式を確認します。

凹レンズの際の像の書き方のルールに従って、像を描くと以下のようになります。

すると以下のような2つの相似の三角形をができるので、比の関係を使ってレンズの公式を導いていきます。

一つ目は

2つの三角形が相似だから、

$l : l' = a : b - ①$

またもう一つの下図の相似の三角形より

凹レンズの書き方③より、点線は平行になります。

$l : l' = f : f - b - ②$

①,②より

$a : b = f : f - b$

$a(f - b) = bf$
$af - ab = bf$

両辺を$abf$で割って

$\dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{a}$

移行すると

$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = -\dfrac{1}{f}$

初版:2022/8/21
初版:2023/8/25(凹レンズで物体が焦点の内部にある場合の解説を追加)

Tweet