凸レンズ

凸レンズを通じて、像がどの様にできるか、過程を覚えないといけないので、図で作図方法を確認します。

①光軸に平行な光線は焦点に向かう

②レンズの中心を通る光線は直進する

③焦点を通る光線は光軸と平行になる

上図のようにレンズに対して物体と反対側にできる像を実像と呼びます。

レンズから物体までの距離を$a$,レンズから像までの距離を$b$、レンズから焦点までの距離を$f$とすると、
以下の公式が成り立ちます。

$$\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$$

物体が焦点の内側にある場合は、下図のように像ができます。

物体が焦点の前にある場合のように、①,②,③のルールを守って作図すると、
光線①と②が交わりません。

なので、「①光軸に平行な光線は焦点に向かう」で作る光線は、
焦点を通る光線を反対側に延長して、②の光線と交わったところが像になります。

このようにレンズに対して、物体と同じ側にできる像を虚像と呼びます。

先と同じく、レンズから物体までの距離を$a$,レンズから像までの距離を$b$、レンズから焦点までの距離を$f$とすると、
以下の公式が成り立ちます。

$$\displaystyle \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$$

まず、下図を元に、$OF = f,OQ = a, OQ' = b$と置きます。

$△PQO$と$△P'Q'O$は、

$\angle PQO = 90°$,
$\angle POQ = \angle Q'OP'$(対頂角)

より相似なので、

$a:PQ = b:P'Q'$

$\dfrac{P'Q'}{PQ} = \dfrac{b}{a} - ①$

同様にして、$△ROF$と$△P'Q'F$も相似なので、

$f:RO = (b - f):P'Q'$

$\dfrac{P'Q'}{RO} = \dfrac{b - f}{f}$

$RO = PQ(PR$と光軸は平行なので)より、

$\dfrac{P'Q'}{PQ} = \dfrac{b - f}{f} - ②$

①②より

$\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{b - f}{f}$

$\displaystyle bf = ab - af$

$\displaystyle bf + af = ab$

両辺を$abf$で割ります。

$\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$

$△PQO$と$△P'Q'O$は2角が等しいので相似より、

$a:PQ = b : P'Q'$

$\dfrac{P'Q'}{PQ} = \dfrac{b}{a}$ - ①

また、$△ROF$と$△P'Q'F$は2角が等しいので相似より

$f : RO = (b + f) : P'Q'$

$\dfrac{P'Q'}{RO} = \dfrac{b + f}{f}$

$RO = PQ$より(①より$PR$と$QO$は平行だから高さは等しい)

$\dfrac{P'Q'}{PQ} = \dfrac{b + f}{f}$

①②より

$\dfrac{b}{a} = \dfrac{b + f}{f}$

$bf = ab + af$

$bf - af = ab$

両辺を$abf$でわると

$\displaystyle \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$

初版:2022/8/19
更新:2023/8/3(説明を追記した)

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