ドップラー効果

音速を$V[m/s]$、音源の振動数$f[Hz]$,観測される音の振動数を$f'[Hz]$とすると、

$$\displaystyle f' = \frac{V}{V - v}f$$

$$\displaystyle f' = \frac{V}{V + v}f$$

$$\displaystyle f' = \frac{V + u}{V}f$$

$$\displaystyle f' = \frac{V - u}{V}f$$

音源の波長を考えると、距離$V - v$(音速$V$と音源の速度$v$の1秒間に進む距離で考えます)$[m]$の間に$f[個]$の波があるので、
観測される音波の波長を$λ'[m]$とすると、

$\displaystyle λ' = \frac{V - v}{f}[m] - ①$

注:波長は波一つ分の長さなので、$f$個の波がある距離を$f$で割れば一つの波長が現れます。

音速$V$は変化しないので、観測される音の振動数を$f'[Hz]$とすると

$\displaystyle V = f'λ' - ②$

②に①を代入すると

$\displaystyle V = f' \times \frac{V - v}{f}$

$\displaystyle f' = \frac{V}{V - v}f[Hz]$

音源が観測者から遠ざかる場合も同様に考え、波長を$(V + v)$で示せばいいです

音源が静止しているので、波長は変わらないので波長は、

$λ = \dfrac{V}{f}[m]$

観測者から見た音速を$V'$とすると、

$V' = V + u[m/s]$

以上より、観測される音の振動数を$f'[Hz]$とすると、
$V' = f'λ$が成立するので、これに代入して、

$\displaystyle V + u = f' \times \frac{V}{f}$

$\displaystyle f' = \frac{V + u}{V}f$

遠ざかる場合は、観測される音速を$V - u$として求めます。

初版:2022/8/11