正弦波
波源での媒質の単振動(バネを引っ張って離した時に起こるような上下(左右)の運動のこと)の様子は、
一般的に次のような式で表されることが多く、これを正弦波といいます。
$\displaystyle y = Asin \frac{2π}{T}t - ①$
式からイメージできるように、Aが振幅,Tが周期,tが経過時間を示します。
正弦波の式変形
波源の座標をx = 0として、x = 0における単振動の式が①で表されるとします。
このとき、座法x = lでの単振動の式を考えます。
波の進む速さをv[m/s]とすると、
x = 0での単振動がx = lに伝わるまでの時間は
$\dfrac{l}{v}[s]$
これを考えると、x = lでの単振動は、
x = 0での単振動よりも$\dfrac{l}{v}[s]$だけ過去の単振動であると言えます。
これより、①の時刻t[s]から$\dfrac{l}{v}[s]$だけ時間を戻せばx = lにおける単振動の式を表せることになるので、
x = lにおける単振動の式は
$\displaystyle y = Asin \frac{2π}{T}(t - \frac{l}{v}) - ②$
ここで②を変形して、この単振動の振動数をf[Hz],波長λとし、λを使って式を表せるようにします。
$\displaystyle y = Asin2π(\frac{t}{T} - \frac{l}{Tv}) - ③$
ここで、
$λ = \dfrac{v}{f}$
周期と振動数の関係より、
$T = \dfrac{1}{f}$
これを$λ = \dfrac{v}{f}$に代入して
$λ = Tv$
これを③に代入して
$\displaystyle y = Asin2π(\frac{t}{T} - \frac{l}{λ}) - ④$
正弦波の式
以上のことから、波がx軸の正の向きに伝わり、
原点Oでの単振動の式が
$y = Asin \dfrac{2π}{T}t$で表せるとき、
原点Oからx[m]だけ離れた点における、時刻t[s]のときの媒質の変位y[m]は、
以下の正弦波の式で表されます。
$$\displaystyle y = Asin\frac{2π}{T}(t - \frac{x}{v})$$
$$\displaystyle y = Asin2π(\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$$
初版:2022/8/6
更新:2022/11/30(わかりやすいように整形しました)
