対数の微分の公式とその証明

対数の微分の公式とその証明方法についてまとめます。

底が省略される場合は、底は$e$とするのが原則です。

$\displaystyle (logx)' = \frac{1}{x}$ - ①

$\displaystyle (log_ax)' = \frac{1}{xloga}$ - ②

$\displaystyle (log|x|)' = \frac{1}{x}$ - ③

$\displaystyle (log_a|x|)' = \frac{1}{xloga}$ - ④

ネイピア数と自然対数の項目を参照してください

ネイピア数と自然対数の項目②より

$\displaystyle (log_ax)' = \frac{1}{x} log_ae$

底の変換公式を使って

$\displaystyle = \frac{log_ee}{xloga} = \frac{1}{xloga}$

$x > 0$のとき、

①と同様$\displaystyle (logx)' = \frac{1}{x}$

$x < 0$のとき、

$\displaystyle (logx)' = \left \lbrace log(-x) \right \rbrace ' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$

より、$\displaystyle (log|x|)' = \frac{1}{x}$といえます。

$\displaystyle (log_a|x|)' = \Biggl( \frac{log|x|}{loga} \Biggl) ' = \frac{1}{loga} \cdot (log|x|)'$

$\displaystyle = \frac{1}{loga} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{xloga}$

初版:2022/2/28

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