双曲線の定義と方程式、標準形について

平面上で、異なる2定点$F,F'$から距離の差が0でない一定値である点Pの軌跡を双曲線といい、
定点$F,F'$を双曲線の焦点という。

ただし、距離の差は線分$FF'$の長さより小さいものとします。

2点$F(c,0),F'(-c,0)[c > 0]$を焦点として、この2点からの距離の差が$2a$である双曲線を考えます。
距離の差の定義により、$c > a > 0$とします。

双曲線上の点を$P(x,y)$とすると、
$PF - PF' = \pm 2a$だから、

$\displaystyle \sqrt{(x - c)^2 + y^2} - \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = \pm 2a$

$\displaystyle \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = \pm 2a + \sqrt{(x + c)^2 + y^2} $

両辺を2乗して

$\displaystyle (x - c)^2 + y^2 = 4a^2 \pm 4a \sqrt{(x + c)^2 + y^2} + (x + c)^2 + y^2 $

$\displaystyle 4a^2 + 4cx \pm 4a \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 0$

$\displaystyle a^2 + cx = \mp a \sqrt{(x + c)^2 + y^2}$

両辺を2乗します。

$\displaystyle a^4 + 2a^2cx + c^{2}x^{2} = a^{2} \{ (x + c)^2 + y^2 \}$

これを整理すると、楕円の方程式を求めたときの式と同様になりますが、

$\displaystyle (a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)$

$c > a > 0$と長さの条件が違うので、両辺に$-$をかけて、$(c^2 - a^2)$の形にします。

$\displaystyle (c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2)$

$c^2 > a^2$だから、
$\sqrt{c^2 - a^2} = b$とおくと、

$\displaystyle b^{2}x^{2} - a^2y^2 = a^{2}b^{2}$

両辺を$a^{2}b^{2}$で割って

$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 - ①$$

①を双曲線の方程式の標準形といいます。

$\sqrt{c^2 - a^2} = b$とおいたので、
双曲線の焦点の$x$座標である$c$は

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

よって、曲線①の焦点の座標は

$F(\sqrt{a^2 + b^2},0),F'(- \sqrt{a^2 + b^2},0)$

2点$F,F'$を焦点とする双曲線において、直線$FF'$を主軸、主軸と双曲線との二つの交点を頂点、
線分$FF'$の中点(標準形の場合は原点)を双曲線の中心という。

また、双曲線①は$x$軸、$y$軸、原点に対して対称である。

①を$y$について解くと、

$\displaystyle y = \pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2 - a^2}$

$x$をくくり出すと

$\displaystyle y = \pm \frac{b}{a}x \sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}}$

この式より、$x$が大きくなるにつれ、$y$は$\displaystyle \pm \frac{b}{a}x$に限りなく近づくことがわかります。

以上より、
直線$\displaystyle y = \frac{b}{a}x,y = - \frac{b}{a}x$
は双曲線①の漸近線になる。

また、この漸近線は、①の右辺の1を0とした
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$

$\displaystyle ( \frac{x}{a} - \frac{y}{b})( \frac{x}{a} + \frac{y}{b}) = 0$の表す2直線である。

初版:2022/2/2
更新:2023/6/23(説明を追記した)
2023/7/5(途中式も追加)