双曲線の定義と方程式、標準形について

双曲線の定義

平面上で、異なる2定点F,F'から距離の差が0でない一定値である点Pの軌跡を双曲線といい、
定点F,F'を双曲線の焦点という。

ただし、距離の差は線分FF'の長さより小さいものとします。

双曲線の方程式

2点F(c,0),F'(-c,0)[c > 0]を焦点として、この2点からの距離の差が2aである双曲線を考えます。
距離の差の定義により、c > a > 0とします。

双曲線上の点をP(x,y)とすると、
$PF - PF' = \pm 2a$だから、

$\displaystyle \sqrt{(x - c)^2 + y^2} - \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = \pm 2a$

楕円の方程式を求めたときと同様に変形します。

$\displaystyle (c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2)$

$c^2 > a^2$だから、
$\sqrt{c^2 - a^2} = b$とおくと、

$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 - ①$$

①を双曲線の方程式の標準形といいます。

双曲線の焦点

$\sqrt{c^2 - a^2} = b$とおいたので、
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

よって、曲線①の焦点の座標は

$F(\sqrt{a^2 + b^2},0),F'(- \sqrt{a^2 + b^2},0)$

双曲線の主軸、頂点,中心

2点F,F'を焦点とする双曲線において、直線FF'を主軸、主軸と双曲線との二つの交点を頂点
線分FF'の中点(標準形の場合は原点)を双曲線の中心という。

また、双曲線①はx軸、y軸、原点に対して対称である。

双曲線の漸近線

①をyについて解くと、

$\displaystyle y = \pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2 - a^2}$

xをくくり出すと

$\displaystyle y = \pm \frac{b}{a}x \sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}}$

この式より、xが大きくなるにつれ、yは$\displaystyle \pm \frac{b}{a}x$に限りなく近づくことがわかります。

以上より、
直線$\displaystyle y = \frac{b}{a},y = - \frac{b}{a}$
は双曲線①の漸近線になる。

また、この漸近線は、①の右辺の1を0とした
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$

$\displaystyle ( \frac{x}{a} - \frac{y}{b})( \frac{x}{a} + \frac{y}{b}) = 0$の表す2直線である。

初版:2022/2/2

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